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解决A-level数学数列问题的新方法!

发布时间:2020-07-08 关键词:解决A-level数学数列问题的新方法!

摘要:解决A-level数学数列问题的新方法!一提起Sequence(数列),大家就马上想起那个被举了无数次,甚至被举烂了的例子,那就是你也许会说,这个sequence嘛,不就是一排自然数嘛!没啥了不起!如果我再问,你能告诉我这个sequence的前n项和公式吗?

解决A-level数学数列问题新方法一提起Sequence(数列),大家就马上想起那个被举了无数次,甚至被举烂了的例子,那就是你也许会说,这个sequence嘛,不就是一排自然数嘛!没啥了不起!如果我再问,你能告诉我这个sequence的前n项和公式吗?你会说,这还能难住我,不就是嘛!如果我再进一步问你,这个sequence的前n项和你是怎么推到出来的呢?

聪明的你会立马给出如下的推到过程:

1n的顺序颠倒过来,可写成:

把两个equation放到一起,将两式相加,可得到:

Equation右边总共有n个(n+1),所以,于是,

这个问题呢,确实没有难住你,大千世界嘛,难题多多,我们来看下面的两个sequences

解决A-level数学数列问题的新方法!

那这两个sequence的前n项和公式是什么呢?请聪明的同学推导一下,展现一下你们的数学才华吧……

正文开始前,给大家预告下周的线上直播,如何建立数学学科的解题思维?617日晚20:00,具有多年A-level数学教学经验的新航道广州学校的老师带领大家探索A-level数学A*秘诀!

想必同学遇到了困难了吧,其实我最初遇到这个问题的时候,也是脑袋大了一圈,一点思路没有,掉进了泥潭,不能前行一寸啊。之后呢,我只能学习别人(数学家)的思路,毕竟解决一个数学问题不仅仅要花费很长的时间,而且更需要很高的数学才华。

我们回到上面两个sequences,它们的前n项和公式几百年前就有人求出来了,这里呢,我们可以借用他们的推导思路(如果任性的你想自己独立研究的话,也未尝不可),但是要小心毕竟人生苦短,来日方长啊。好,那就让我们来学习和欣赏这种数学推导的思想,更重要的是,他们(数学家们)为什么会这么思考。

Make a long story short

回到到刚开始的sequence,那它的前n项和公式呢,我们就用这种方法思路来求。这种方法很奇妙,肯定会让你拍手叫好。这种方法思路,就算不吃饭不睡觉你也得弄明白。

我们可知,共有nequations,然后把所有equations相加,分别是equations的左边相加、右边相加。

所以,相加完以后的equation左边就剩下了两项,可得到

我们整理一下,可写成n,于是得:

所以,这就是整个的推导过程,也许你会问,这里有点啰嗦啊,挺复杂。

你说的没问题,这确实复杂,但这的确是一种数学的思想,一种思路,接下来呢,我们就用这种思路来推导下面两个sequence的前n项和公式

关键地方来了,打起你的精神吧!先来看个sequence

问题解决,不知你对这种思路有什么看法,有啥见解。

我们再利用同样思路,来求第二个sequence。利用二次项展开

所有equations相加,得

整理化简可得最终结果:

推导过程结束,聪明的你是不是发现什么规律了,这种方法是不是很神奇呢,此方法就叫做method of differences,是不是让你心惊肉跳,它是不是具有沉鱼落雁,闭月羞花之美呢。

最后提出两个问题,作为此篇的结束:

一、Method of differences 还可以用来解决什么样的问题,你自己能不能构想一个这种问题?

二、Method of differences对于自然数所有的n次幂之和都可以用公式来表示吗?

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