解决A-level数学数列问题的新方法！

解决A-level数学数列问题的新方法！一提起Sequence（数列），大家就马上想起那个被举了无数次，甚至被举烂了的例子，那就是你也许会说，这个sequence嘛，不就是一排自然数嘛！没啥了不起！如果我再问，你能告诉我这个sequence的前n项和公式吗？你会说，这还能难住我，不就是嘛！如果我再进一步问你，这个sequence的前n项和你是怎么推到出来的呢？

聪明的你会立马给出如下的推到过程：

将1到n的顺序颠倒过来，可写成：

把两个equation放到一起，将两式相加，可得到：

Equation右边总共有n个（n+1），所以，于是，

这个问题呢，确实没有难住你，大千世界嘛，难题多多，我们来看下面的两个sequences。

那这两个sequence的前n项和公式是什么呢？请聪明的同学推导一下，展现一下你们的数学才华吧……

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想必同学遇到了困难了吧，其实我最初遇到这个问题的时候，也是脑袋大了一圈，一点思路没有，掉进了泥潭，不能前行一寸啊。之后呢，我只能学习别人（数学家）的思路，毕竟解决一个数学问题不仅仅要花费很长的时间，而且更需要很高的数学才华。

我们回到上面两个sequences，它们的前n项和公式几百年前就有人求出来了，这里呢，我们可以借用他们的推导思路（如果任性的你想自己独立研究的话，也未尝不可），但是要小心毕竟人生苦短，来日方长啊。好，那就让我们来学习和欣赏这种数学推导的思想，更重要的是，他们（数学家们）为什么会这么思考。

Make a long story short

回到到刚开始的sequence，那它的前n项和公式呢，我们就用这种方法思路来求。这种方法很奇妙，肯定会让你拍手叫好。这种方法思路，就算不吃饭不睡觉你也得弄明白。

我们可知，共有n个equations，然后把所有equations相加，分别是equations的左边相加、右边相加。

所以，相加完以后的equation左边就剩下了两项，可得到

我们整理一下，可写成n，于是得：

所以，这就是整个的推导过程，也许你会问，这里有点啰嗦啊，挺复杂。

你说的没问题，这确实复杂，但这的确是一种数学的思想，一种思路，接下来呢，我们就用这种思路来推导下面两个sequence的前n项和公式

关键地方来了，打起你的精神吧！先来看个sequence。

问题解决，不知你对这种思路有什么看法，有啥见解。

我们再利用同样思路，来求第二个sequence。利用二次项展开

所有equations相加，得

整理化简可得最终结果：

推导过程结束，聪明的你是不是发现什么规律了，这种方法是不是很神奇呢，此方法就叫做method of differences，是不是让你心惊肉跳，它是不是具有沉鱼落雁，闭月羞花之美呢。

最后提出两个问题，作为此篇的结束：

一、Method of differences 还可以用来解决什么样的问题，你自己能不能构想一个这种问题？

二、Method of differences对于自然数所有的n次幂之和都可以用公式来表示吗？

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