GMAT数学常考：如何判断一个数能否被24整除

GMAT数学里面常会问一个数能否被x（比如6/12/24之类的）整除，一般是考虑看这个数能否同时被zui小公倍数为x的两个数整除。比如，如果一个数能被2和3整除，就是2和3的公倍数，也一定是2和3的zui小公倍数6的倍数。同理，判断12的时候看是否能同时被3和4整除。不能用2和6来判断，是因为2和6不互质，zui小公倍数是6而不是它们的乘积12，一个数是6的倍数不一定是12的倍数。相应判断24一般是看能否满足被3和8整除。

例1:

已知 n 是正整数，问:以下条件能否判断 n(n+1)(2n+1)/6被 4 整除?

条件 1：n 能被 4 整除

条件 2：14<n<17

解析：如果n(n+1)(2n+1)/6=4k，则n(n+1)(2n+1)=24k，也就是要能被24整除，要能被3和8整除。条件1说n是4的倍数，可以举例，比如n=4，4*5*9，凑不齐2^3就是8这个因数，所以不行；但如果n=8，8*9*17，有8和3这两个因数，所以是24的倍数。所以条件1不确定。

条件2说n是15或者16。n是15的时候，式子是15*16*31，有3和8这两个因数，所以可以；n是16的时候是16*17*33，有8和3这两个因数，所以也可以。条件2意味着一定可以，所以选B。

例2:

DS：m为整数。m^2-1是否能被24整除？

条件1：m不能被2整除；

条件2：m不能被3整除；

解析：根据条件1，m是奇数，可以改写m=2n+1，其中n是整数。所以m^2-1=(m+1)(m-1)=(2n+2)*2n=4n(n+1)，如果n是奇数，n+1是偶数，4n(n+1)就是8的倍数，如果n是偶数，4n(n+1)显然也是8的倍数，所以4n(n+1)一定是8的倍数，但不知道能否被3整除，所以不一定是24的倍数。根据条件2，m要嘛是除3余1，要嘛是除3余2。前者就是3a+1，m^2-1=(m+1)(m-1)=(3a+2)*3a，一定是3的倍数。后者是3a+2，m^2-1=(m+1)(m-1)=(3a+3)(3a-1)=3(a+1)(3a-1)，也一定是3的倍数。所以条件2可以确定m^2-1一定是3的倍数，但不知道能否被8整除，所以不一定是24的倍数。

两个条件加在一起，意味着一定是3和8的倍数，也就一定是24的倍数，所以选C。

例3:

PS：前n个正整数的平方的和是4的倍数，n可能为几？

选项有9 10 12 14 15。

解析：前n个正整数的平方和的公式是n(n+1)(2n+1)/6，要是4的倍数，写成4k，所以n(n+1)(2n+1)/6=4k，分母n(n+1)(2n+1)要是24k，要能被24整除，一定要能被3和8整除，只有n=15的时候满足，这时候n可以被3整除，n+1=16可以被8整除，整体可以被24整除。

例4:

If n is a positive integer, is n^2 – 1 divisible by 24?

(1) n is a prime number

(2) n is greater than 191

解析：两个条件分开显然不能确定。

条件1的时候n如果是2，式子不能被24整除；n如果是7，式子可以被24整除。

条件2，比如n是个大于191的偶数，n^2-1就是奇数，奇数不可能是24这个偶数的倍数，显然也有能整除的时候。

两个条件加在一起可以确定。

n是质数，而且大于191。我们知道质数里面只有2是偶数，其他都是奇数，所以n是个奇数。而且质数只有1和本身这两个不同的正因数，所以大于191的质数，只有1和自己这两个正因数，不可能有3这个因数，就是不能被3整除。这样就跟例2一样了，n是奇数，不能被2整除；n不能被3整除。所以两个加在一起可以确定一定是24的倍数。

另一个思路是，从5开始的质数要嘛是6k+1，要嘛是6k+5的形式（6k、6k+2、6k+4都是偶数，6k+3是3的倍数，不能表达质数）。两个条件加在一起意味着n是一个大于191的的质数，显然只有6k+1和6k+5两种可能。

n如果是6k+1，则n^2-1=(n+1)(n-1)=(6k+2)6k=12k(3k+1)，k如果是偶数，12k就是24的倍数，式子整体也是；k如果是奇数，3k+1=3*奇数+1=偶数，12(3k+1)就是偶数，式子整体也是。

n如果是6k+5，则n^2-1=(n+1)(n-1)=(6k+6)(6k+4)=12(k+1)(3k+2)，k如果是偶数，3k是偶数，3k+2是偶数，12(3k+2)是24的倍数，式子整体也是。k如果是奇数，k+1是偶数，12(k+1)是24的倍数，式子整体也是。

所以两个条件加在一起，发现不管n是除6余1的质数，还是除6余5的质数，原式都是24的倍数。所以选C。

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